【例1】一個(gè)數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個(gè)數(shù)最小是幾?
【解析】題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
為了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274,
因?yàn)椋?74>60,所以,274-60×4=34,就是所求的數(shù)。
【例2】一個(gè)數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個(gè)數(shù)最小是幾?在1000內(nèi)符合這樣條件的數(shù)有幾個(gè)?
【解析】題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。
為了使56被3除余1,用56×2=112;
使24被7除余1,用24×5=120。
使21被8除余1,用21×5=105;
然后,112×2+120×4+105×5=1229,
因?yàn)椋?229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的數(shù)。
再用(1000-53)/168得5, 所以在1000內(nèi)符合條件的數(shù)有6個(gè)。
【例3】一個(gè)數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條件的最小的自然數(shù)。
【解析】題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。
為了使88被5除余1,用88×2=176;
使55被8除余1,用55×7=385;
使40被11除余1,用40×8=320。
然后,176×4+385×3+320×2=2499,
因?yàn)椋?499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的數(shù)。
【例4】有一個(gè)年級(jí)的同學(xué),每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,問這個(gè)年級(jí)至少有多少人?
【解析】題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
為了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×5+225×1+126×2=1877,
因?yàn)椋?877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的數(shù)。
關(guān)于“中國(guó)剩余定理”類型題目的另外解法
“中國(guó)剩余定理”解的題目其實(shí)就是“余數(shù)問題”,這種題目,也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。
【例一】一個(gè)數(shù)被5除余2,被6除少2,被7除少3,這個(gè)數(shù)最小是多少?
解法:題目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4 ??吹侥莻€(gè)“被6除余4,被7除余4”了么,有同余數(shù)的話,只要求出6和7的最小公倍數(shù),再加上4,就是滿足后面條件的數(shù)了,6X7+4=46。下面一步試下46能不能滿足第一個(gè)條件“一個(gè)數(shù)被5除余2”。不行的話,只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42,一直加到能滿足“一個(gè)數(shù)被5除余2”。這步的原因是,42是6和7的最小公倍數(shù),再怎么加都會(huì)滿足
“被6除余4,被7除余4”的條件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
【例二】一個(gè)班學(xué)生分組做游戲,如果每組三人就多兩人,每組五人就多三人,每組七人就多四人,問這個(gè)班有多少學(xué)生?
解法:題目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4。沒有同余的情況,用的方法是“逐步約束法”,就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3 的數(shù)”,就是再7上一直加4,直到所得的數(shù)除5余3。得出數(shù)為18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35,直到滿足“除3余2”
4+7=11
11+7=18
18+35=53
【例1】在國(guó)慶50周年儀仗隊(duì)的訓(xùn)練營(yíng)地,某連隊(duì)一百多個(gè)戰(zhàn)士在練習(xí)不同隊(duì)形的轉(zhuǎn)換。如果他們排成五列人數(shù)相等的橫隊(duì),只剩下連長(zhǎng)在隊(duì)伍前面喊口令。如果他們排成七列這樣的橫隊(duì),只有連長(zhǎng)仍然可以在前面領(lǐng)隊(duì),如果他們排成八列,就可以有兩個(gè)作為領(lǐng)隊(duì)了。在全營(yíng)排練時(shí),營(yíng)長(zhǎng)要求他們排成三列橫隊(duì)。
以一哪項(xiàng)是最可以出現(xiàn)的情況?
A該連隊(duì)官兵正好排成三列橫隊(duì)。
B除了連長(zhǎng)外,正好排成三列橫隊(duì)。
C排成了整齊的三列橫隊(duì),加有兩人作為全營(yíng)的領(lǐng)隊(duì)。
D排成了整齊的三列橫隊(duì),其中有一人是其他連隊(duì)的
【解析】這個(gè)數(shù)符合除以5余1,除以7余1,除以8余2;
符合除以5余1,除以7余1的最小數(shù)為36,那么易知符合除以5余1,除以7余1,除以8余2為106,106÷3=35余1,所以選B。
【習(xí)題一】1到500這500個(gè)數(shù)字, 最多可取出多少個(gè)數(shù)字, 保證其取出的任意三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)。
【解析】
每7個(gè)數(shù)字1組,余數(shù)都是1,2,3,4,5,6,0,要使得三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù),那么其余數(shù)之和就不是7的倍數(shù)。
我們應(yīng)該挑選 0,1,2,或者0,5,6
因?yàn)?/3=2 也就是說(shuō)最大的數(shù)字不能超過(guò)2 ,例如 如果是1,2,3 那么 我們可以取3,3,1 這樣的余數(shù),其和就是7
500/7=71 余數(shù)是3, 且剩下的3個(gè)數(shù)字余數(shù)是1,2,3
要得去得最多,那么我們?nèi)?,1,2比較合適 因?yàn)樽詈笫O碌氖?,2,3 所以這樣就多取了2個(gè)
但是還需注意 0 不能取超過(guò)2個(gè) 如果超過(guò)2個(gè) 是3個(gè)以上的話 3個(gè)0就可以構(gòu)成7的倍數(shù) 0也能被7整除
所以答案是71個(gè)1,2 和剩下的一組1,2 外加2個(gè)0
2012年山東公務(wù)員考試復(fù)習(xí)用書可參考《2012年山東公務(wù)員考試一本通》。